7 клас геометрія

Опрацьовуємо тему "Трикутник і його елементи. Види трикутників. Медіана, бісектриса і висота трикутника".
 
Медіани, бісектриси і висоти трикутника
Медіана трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
Тому для побудови медіани необхідно виконати такі дії: 
1) Знайти середину сторони; 
2) З'єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежним відрізком - це і буде медіана.
Mediana.png
У трикутника три сторони, отже, можна побудувати три медіани.
Усі медіани перетинаються в одній точці.
Mediana1.png
Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину з точкою на протилежній стороні.
Тому, для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії: 
1) Побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить з вершини кута й ділить його на дві рівні частини);
2) Знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною; 
3) З'єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.
Bisektrise.png
У трикутника три кути і три бісектриси.
Усі бісектриси перетинаються в одній точці.
Bisektrise1.png
Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.
Тому для побудови висоти необхідно виконати такі дії: 
1) Провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);
2) З вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити перпендикуляр до неї (перпендикуляр - це відрізок, проведений з точки до прямої, який утворює з нею кут 90  градусів90°) — це і буде висота.
Augstums.png
Так само, як медіани і бісектриси, трикутник має три висоти.
Висоти трикутника перетинаються в одній точці.
Augstums1.png
Але, як згадано вище, для деяких видів трикутників побудова висот і точки їх перетину відрізняється. 
Якщо трикутник з прямим кутом, то сторони, що утворюють прямий кут, можна назвати висотами, оскільки вони перпендикулярні одна до іншої. Точкою перетину висот є спільна вершина перпендикулярних сторін.
 
Augstums2.png
Якщо трикутник має тупий кут, то висоти, опущені з вершин гострих кутів, перебуватимуть за межами трикутника. Прямі, на яких розташовані висоти, перетинаються за трикутника.
Augstums3.png
 
Зверни увагу!
Якщо з однієї й тієї самої вершини провести медіану, бісектрису й висоту, то медіана виявиться найдовшим відрізком, а висота — найкоротшим відрізком.
Visi.png
Рівнобедрений трикутник
Якщо в трикутника дві сторони рівні, то такий трикутник називають рівнобедреним.
Рівні сторони називають бічними, а третю сторону — основою трикутника.
Trijst_vs.png
АВАВAB=BC АВ,ВС— бічні сторони, АСAC — основа трикутника.
Якщо в трикутника всі три сторони рівні, то такий трикутник є рівностороннім.
Рівнобедрений трикутник має деякі властивості, яких не мають трикутники з різними сторонами.
1. У рівнобедренному трикутнику кути, прилеглі до основи, рівні. 
2. У рівнобедренному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою. 
3. У рівнобедренному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою. 
4. У рівнобедренному трикутнику висота, проведена до основи, є бісектрисою і медіаною.
 
Першу й другу властивості можна довести, якщо доведемо рівність двох трикутників, які утворюються, коли з кута, протилежного до основи, провести бісектрису BD.
Vs_trijst_ip.png
Розглянемо рівнобедрений трикутник АВСABC з основою АСAC і доведемо, що трикутники АDB і  CDB  рівніΔABD=ΔCBD.
Нехай BDВД — бісектриса трикутника . Доведемо рівність трикутників , AB = CD за умовою, BDABCABза умовою;BD — спільна сторона,  кути ABD i CBD рівні, оскільки BD є бісектрисоюBD— бісектри).
 
 
У рівних трикутників рівні всі відповідні елементи:
1. кут ABD = r C — доведено, що прилеглі до основи кути рівні.
2. AD=DC — доведено, що бісектриса є медіаною.
3. ADB=CDB — оскільки суміжні кути, сума яких дорівнює 180°, рівні, то кожен з них дорівнює90°, тобто медіана є висотою.
 
Vs_trijst_ip1.png
Можна дуже легко самостійно довести  інші властивості.
 
 
Опрацюйте § 10, 11. Розв'яжіть № 6, № 8, №9, № 23.